Método usado para la resolución de ejercicios de la guía

Teorema de Cauchy

Esta fue la manera o el empleo de teorema, para la resolución de la guía practica emitida por el profesor.

El teorema de Cauchy o teorema del valor medio generalizado dice que:

Si f y g son funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b), existe un punto c (a, b) tal que:

Ejemplos

1. Aplicar el teorema de Cauchy a las funciones f(x) = sen x y g(x) = cos x en el intervalo [0, π/2].

Las funciones f(x) = sen x y g(x) = cos x son continuas y derivables en toda la recta real.

Y en particular son continuas en el intervalo [0, π/2] y derivables en (0, π/2).

g(π/2) ≠ g(0)

Por lo tanto podemos aplicar el teorema de Cauchy:

g' (c) ≠ 0 −sen(π/4 ) ≠ 0.

2.Analizar si el teorema de Cauchy es aplicable en el intervalo [1, 4] a las funciones:

f(x) = x² − 2x + 3 y g(x) = x³ − 7x² + 120x − 5.

En caso afirmativo, aplicarlo.

Las funciones f(x) y g(x) son continuas en [1, 4] y derivables en (1, 4) por ser polinómicas, además se cumple que g(1) ≠ g(4).

Por lo tanto se verifica el teorema de Cauchy: