Funciones de Variable Compleja

Funciones de variable compleja

Las funciones de variable real mas importantes admiten una extensión natural a funciones de variable compleja. El caso mas simple es el de los polinomios.

Cada polinomio con coeficientes reales define una funci´on sobre C que extiende a la función que define sobre R. Claramente se trata de una funci´on continua. Mas aun, todo polinomio p(z) ∈ C[z] define una función continua en C∞ si admitimos que p(∞) = ∞.

Lo mismo ocurre con las funciones racionales, con la precaución de que toman el valor infinito en los puntos donde se anulan sus denominadores (en ∞ se extienden con el valor del límite, finito o infinito, y el resultado es siempre una función continua). Por ejemplo, la función

f(z) =

1

z2 + 1

toma el valor ∞ en ±i y toma el valor 0 en ∞.

Quizá la función real mas importante sea la función exponencial. Esta admite una extensión al plano complejo que es sin duda la función mas importante de variable compleja. La definición que vamos a dar puede parecer muy artificial, pero veremos enseguida que así se conservan las muchas propiedades de la función real, y mas adelante probaremos que es la única extensión posible derivable en todo punto en el sentido de derivabilidad compleja.