Método usado para la resolución de ejercicios de la guía

Teorema de Cauchy

Esta fue la manera o el empleo de teorema, para la resolución de la guía practica emitida por el profesor.

El teorema de Cauchy o teorema del valor medio generalizado dice que:

Si f y g son funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b), existe un punto c (a, b) tal que:

Ejemplos

1. Aplicar el teorema de Cauchy a las funciones f(x) = sen x y g(x) = cos x en el intervalo [0, π/2].

Las funciones f(x) = sen x y g(x) = cos x son continuas y derivables en toda la recta real.

Y en particular son continuas en el intervalo [0, π/2] y derivables en (0, π/2).

g(π/2) ≠ g(0)

Por lo tanto podemos aplicar el teorema de Cauchy:

g' (c) ≠ 0 −sen(π/4 ) ≠ 0.

2.Analizar si el teorema de Cauchy es aplicable en el intervalo [1, 4] a las funciones:

f(x) = x² − 2x + 3 y g(x) = x³ − 7x² + 120x − 5.

En caso afirmativo, aplicarlo.

Las funciones f(x) y g(x) son continuas en [1, 4] y derivables en (1, 4) por ser polinómicas, además se cumple que g(1) ≠ g(4).

Por lo tanto se verifica el teorema de Cauchy:

Funciones de Variable Compleja

Funciones de variable compleja

Las funciones de variable real mas importantes admiten una extensión natural a funciones de variable compleja. El caso mas simple es el de los polinomios.

Cada polinomio con coeficientes reales define una funci´on sobre C que extiende a la función que define sobre R. Claramente se trata de una funci´on continua. Mas aun, todo polinomio p(z) ∈ C[z] define una función continua en C∞ si admitimos que p(∞) = ∞.

Lo mismo ocurre con las funciones racionales, con la precaución de que toman el valor infinito en los puntos donde se anulan sus denominadores (en ∞ se extienden con el valor del límite, finito o infinito, y el resultado es siempre una función continua). Por ejemplo, la función

f(z) =

1

z2 + 1

toma el valor ∞ en ±i y toma el valor 0 en ∞.

Quizá la función real mas importante sea la función exponencial. Esta admite una extensión al plano complejo que es sin duda la función mas importante de variable compleja. La definición que vamos a dar puede parecer muy artificial, pero veremos enseguida que así se conservan las muchas propiedades de la función real, y mas adelante probaremos que es la única extensión posible derivable en todo punto en el sentido de derivabilidad compleja.

Números Complejos en la Ingeniería

NUMEROS COMPLEJOS EN LA INGENIERÍA

En ingeniería los números complejos se usan para muchísimas cosas.

La razón principal detrás de esto es que los matemáticos desarrollaron una enorme cantidad de herramientas de análisis y álgebra para trabajar con ellos y los ingenieros encontraron una forma práctica de representar vectores con ellos.

Esta última afirmación es un poco hiperbólica, lo se, pero se ajusta bastante a la realidad y justifica el hecho de que se usen tan ampliamente.

En ingeniería eléctrica permiten representar muy fácilmente los parámetros de magnitud y fase cuando se representan corrientes y tensiones alternas; el gran vinculador de ellas, la impedancia (cociente de la tensión y la corriente) se representa con un número complejo. Una parte real, una imaginaria, que representan resistencia (real) inductancia y capacitancia (imaginario).

Este último ejemplo es un ícono para iniciados y no iniciados. Sin embargo los mismos mecanismos se utilizan para analizar el campo magnético resultante en la armadura de un motor, etc.

En ingeniería electrónica el uso es el mismo que en eléctrica, pero además se aplica (para mencionar sólo un ejemplo) a ondas electromagnéticas, en donde se representa la relación entre campos eléctricos y magnéticos.

En control para representar los retardos entre las señales de realimentación, corrección y error en un sistema.

En ingeniería mecánica para representar la relación espacial de los esfuerzos en un sistema o internamente en un material.

En ingeniería civil para representar esfuerzos en estructuras, pendeos...

En ingeniería hidráulica para poner en números el comportamiento de los fluidos

En aeronáutica para representar las fuerzas resultantes (en las estructuras mecánicas) pero también en las fuerzas de sustentación, entre otros usos.

Los números complejos es un tema que engloba mucho a la ingeniería, de allí la importancia de su estudio y aplicaciones en materia de campo laboral.